1️⃣ 기하학 - 설득술로서 발전해 온 수학

1️⃣ 명제와 증명.

“필요조건” 과 “충분조건” 에 대한 이해는 모든 논리의 기초가 되는 가장 중요한 사항이라 해도 과언이 아닙니다.

수학은 논리와 떼려야 뗄 수 없는 관계라는 것은 모두가 아는 사실이지만 ‘필요’ 와 ‘충분’ 은 수학의 논리 중에서도 가장 중요한 역할을 하는 기본적인 사고방식입니다.

‘이것 없이는 어떠한 수학적 논리도 전개할 수 없다’라고 단언할 수 있을 정도입니다.

또한, ‘부정’을 이용해서 증명하는 방법인 “대우” 와 “귀류법” 의 이해도 매우 중요합니다.

대우는 얼핏 보기에도 복잡해 보이는 명제를 단순화하고, 귀류법은 정면 돌파로는 증명할 수 없는(하기 어려운) 명제를 증명할 때 큰 힘을 발휘합니다.

명제란 무엇인지 먼저 확인해 봅시다.

명제: 참과 거짓을 객관적으로 판정할 수 있는 문장이나 식

예를 들어 ‘백두산은 한국에서 가장 높은 산이다’는 명제지만 ‘백두산은 멋있다’는 명제가 아닙니다.

백두산의 높이가 한국에서 가장 높은지는 객관적으로 판정할 수 있지만, 백두산이 멋지다고 느끼는 데는 개인차가 있으며(심지어 대부분이 ‘멋지다’고 생각할지라도) 참과 거짓을 객관적으로 판단할 수 없기 때문입니다.

우선 필요조건과 충분조건의 정의를 살펴보겠습니다.

필요조건과 충분조건의 정의

명제 ‘P이면 Q이다’ 가 참일 때,

P를(Q이기 위한) “충분조건”

Q를(P이기 위한) “필요조건”

이라고 합니다.

‘P이면 Q이다’ 에서 P를 ‘재즈’라 하고 Q를 ‘음악’이라 하면 ‘재즈는 음악이다’가 됩니다.
이는 당연히 참이므로(올바르므로) 정의에 따라

이 됩니다.

확실히 재즈가 되기 위해서는 (적어도) 음악일 필요가 있습니다.

또한, 음악이 되기 위해서 재즈면 (넉넉하게) 충분하다고 할 수 있습니다.

재즈는 음악의 한 장르이므로 이 둘의 관계를 그림으로 표현하면 다음과 같은 모습이 됩니다.

이처럼 한쪽이 다른 한쪽을 완전히 포함하는 경우를 다음과 같이 집합으로 이해해 보는 것도 매우 중요합니다.

영역이 더 작은 쪽(재즈): 충분조건
영역이 더 큰 쪽(음악): 필요조건

특히 두 개의 명제 ‘P이면 Q다’ 와 ‘Q이면 P다’가 모두 참일 경우에는 ‘P와 Q가 서로의 필요충분조건이다’라고 합니다. 또는 ‘P와 Q는 서로 동치다’ 라고도 합니다.

NOTE : 실수란

수학에서는 일반적으로 부등식의 범위를 수직선에 나타낼 때,

등호 없는 부등호(<)는 ○와 대각선

등호 있는 부등호(≤)는 ●와 (직선에) 수직으로 뻗은 선

으로 표기합니다.

예를 들어 1 ≤ x < 4는 다음과 같이 표기합니다.

우리는 보통 무언가를 고를 때, 자연스레 “필요저건에 따라 후보를 줄여 나갑니다. 그리고 충분조건을 만족하는 후보를 탐색합니다.”

예를 들어 점심 메뉴를 고를 때, ‘8,000원 안팍의 메뉴’처럼 예산이 필요조건이 사람이 적지 않을 것입니다.

거기에 ‘30분 안에 먹을 수 있는 메뉴’ 혹은 ‘깔끔한 맛’ 등의 필요조건을 더 해, 그 모든 필요조건을 만족하는 메뉴로 후보를 줄여 나갑니다.

그리고 남은 메뉴(후보)가 오늘 점심으로 괜찮은지(충분한지) 고민합니다.

그 결과(예를 들어) ‘그럼 오늘 점심은 경양식 돈까스로 하자’고 결정하는 사고방식은 매우 당연하다고 생각할 것입니다.

이처럼 필요조건과 충분조건을 구분하는 능력은 문제를 해결할 때 대단한 위력을 발휘합니다.