devkobe24.com

homepage

Contact

Copyright Β© 2024 | Yankos
Contents

Home > Math > πŸ’‘[Math] μ†Œμˆ˜, μžμ—°μˆ˜, μ•½μˆ˜

πŸ’‘[Math] μ†Œμˆ˜, μžμ—°μˆ˜, μ•½μˆ˜
None 2025-01-06 -
Math

πŸ’‘[Math] μ†Œμˆ˜, μžμ—°μˆ˜, μ•½μˆ˜

βœ…1️⃣ μ†Œμˆ˜.

πŸ“Œ Intro.

  • β†˜οΈŽ μ†Œμˆ˜(Prime Number)λž€ 1κ³Ό 자기 μžμ‹ λ§Œμ„ μ•½μˆ˜λ‘œ κ°€μ§€λŠ” 1보닀 큰 μžμ—°μˆ˜λ₯Ό μ˜λ―Έν•¨.
    • β†˜οΈŽ 즉, λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§€λŠ” μˆ˜κ°€ 1κ³Ό 자기 μžμ‹ λΏμΈ 수.

1️⃣ μ†Œμˆ˜μ˜ μ •μ˜.

  • β†˜οΈŽ μžμ—°μˆ˜ $n$이 μžˆμ„ λ•Œ, μ•½μˆ˜κ°€ 1κ³Ό n μžμ‹ λΏμΈ 경우, n은 μ†Œμˆ˜μž„.
  • β†˜οΈŽ μˆ˜ν•™μ μœΌλ‘œ ν‘œν˜„ν•˜λ©΄:
    • β†˜οΈŽ $n > 1 \quad \text{AND} \quad n = p \quad (p1)$

2️⃣ μ†Œμˆ˜μ˜ μ˜ˆμ‹œ.

  • β†˜οΈŽ 2 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 2} ➞ ⭕️ μ†Œμˆ˜
  • β†˜οΈŽ 3 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 3} ➞ ⭕️ μ†Œμˆ˜
  • β†˜οΈŽ 4 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 2, 4} ➞ ❌ μ†Œμˆ˜κ°€ μ•„λ‹˜ (2둜 λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§)
  • β†˜οΈŽ 5 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 5} ➞ ⭕️ μ†Œμˆ˜
  • β†˜οΈŽ 7 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 7} ➞ ⭕️ μ†Œμˆ˜
  • β†˜οΈŽ 9 ➞ μ•½μˆ˜ : {1, 3, 9} ➞ ❌ μ†Œμˆ˜κ°€ μ•„λ‹˜ (3둜 λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§)

3️⃣ μ†Œμˆ˜μ˜ νŠΉμ§•.

  • β†˜οΈŽ 1. κ°€μž₯ μž‘μ€ μ†Œμˆ˜λŠ” 2μž„.
  • β†˜οΈŽ 2. 2λ₯Ό μ œμ™Έν•œ λͺ¨λ“  μ†Œμˆ˜λŠ” ν™€μˆ˜μž„.
  • β†˜οΈŽ 3. 1은 μ†Œμˆ˜κ°€ μ•„λ‹˜.
  • β†˜οΈŽ 4. μ–΄λ–€ 수λ₯Ό μ†Œμˆ˜λ‘œ λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§€μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, κ·Έ μˆ˜λŠ” μ†Œμˆ˜κ°€ μ•„λ‹˜.
  • β†˜οΈŽ 5. μ†Œμˆ˜λŠ” λ¬΄ν•œνžˆ 많음.(μœ ν΄λ¦¬λ“œκ°€ 증λͺ…)

4️⃣ μ†Œμˆ˜ νŒλ³„ 방법.

  • β†˜οΈŽ 1. λ‚˜λˆ—μ…ˆ 방법:
    • β†˜οΈŽ 1κ³Ό 자기 μžμ‹  이외에 λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§€λŠ” μˆ«μžκ°€ μžˆλŠ”μ§€ ν™•μΈν•œλ‹€.
  • β†˜οΈŽ 2. 제곱근 ν™œμš©:
    • β†˜οΈŽ μ–΄λ–€ 수 $n$이 μ†Œμˆ˜μΈμ§€ ν™•μΈν•˜λ €λ©΄ 1λΆ€ν„° $\sqrt{n}$κΉŒμ§€μ˜ μ†Œμˆ˜λ‘œ λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§€λŠ”μ§€ ν™•μΈν•©λ‹ˆλ‹€.
    • β†˜οΈŽ 예: 29의 경우, $\sqrt{29} \approx 5.38$ ➞ 2, 3, 5둜 λ‚˜λˆ„μ–΄λ³΄λ©΄ 됨.

5️⃣ μ†Œμˆ˜μ˜ ν™œμš©

  • β†˜οΈŽ μ•”ν˜Έν™” 기술(RSA μ•”ν˜Έν™”)
  • β†˜οΈŽ λ‚œμˆ˜ 생성
  • β†˜οΈŽ 컴퓨터 λ³΄μ•ˆ μ‹œμŠ€ν…œ
  • β†˜οΈŽ μˆ˜ν•™ 연ꡬ 및 이둠 개발

πŸš€ μ†Œμˆ˜ 정리.

  • β†˜οΈŽ 1. μ†Œμˆ˜ : 1κ³Ό 자기 μžμ‹ λ§Œμ„ μ•½μˆ˜λ‘œ κ°€μ§€λŠ” 수
  • β†˜οΈŽ 2. κ°€μž₯ μž‘μ€ μ†Œμˆ˜ : 2
  • β†˜οΈŽ 3. μ†Œμˆ˜μ˜ 예 : 2, 3, 5, 7, 11, …
  • β†˜οΈŽ 4. μ†Œμˆ˜ νŒλ³„ : 제곱근 μ΄ν•˜μ˜ μ†Œμˆ˜λ‘œ λ‚˜λˆ„μ–΄ 확인

βœ…2️⃣ μžμ—°μˆ˜

πŸ“Œ Intro.

  • β†˜οΈŽ μžμ—°μˆ˜λŠ” 1, 2, 3, 4, 5, … 와 같이 1λΆ€ν„° μ‹œμž‘ν•˜μ—¬ 끝없이 μ΄μ–΄μ§€λŠ” μ–‘μ˜ μ •μˆ˜λ₯Ό μ˜λ―Έν•¨.
    • β†˜οΈŽ μžμ—°μˆ˜λŠ” μš°λ¦¬κ°€ μΌμƒμƒν™œμ—μ„œ 사물을 μ„ΈλŠ” 데 μ‚¬μš©ν•˜λŠ” μˆ«μžμž„.

      1️⃣ μžμ—°μˆ˜μ˜ μ •μ˜.

  • β†˜οΈŽ 1. μ–‘μ˜ μ •μˆ˜ (Positive Integers)
    • β†˜οΈŽ $1, 2, 3, 4, 5, …$ λ¬΄ν•œλŒ€λ‘œ 계속 됨.
  • β†˜οΈŽ 0 포함 μ—¬λΆ€
    • β†˜οΈŽ μˆ˜ν•™μ  관점 : 일뢀 μˆ˜ν•™μžλ“€μ€ 0을 μžμ—°μˆ˜μ— ν¬ν•¨μ‹œκΈ°ν‚€λ„ 함(예: 집합둠)
    • β†˜οΈŽ 일반적 관점 : λŒ€λΆ€λΆ„μ˜ 경우 0은 ν¬ν•¨ν•˜μ§€ μ•ŠμŒ.

2️⃣ μˆ˜ν•™μ  ν‘œκΈ°.

  • β†˜οΈŽ μžμ—°μˆ˜μ˜ 집합은 기호 $β„•$(μ—”)으둜 λ‚˜νƒ€λƒ„.
    • β†˜οΈŽ 0을 ν¬ν•¨ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” 경우:
      • β†˜οΈŽ $= {1, 2, 3, 4, \dots}$
    • β†˜οΈŽ 0을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 경우:
      • β†˜οΈŽ $= {0, 1, 2, 3, \dots}$

3️⃣ μžμ—°μˆ˜μ˜ νŠΉμ§•.

  • 1. κ°€μž₯ μž‘μ€ μžμ—°μˆ˜ : 1(0을 ν¬ν•¨ν•˜λ©΄ 0)
  • 2. κ°€μž₯ 큰 μžμ—°μˆ˜ : μ—†μŒ (λ¬΄ν•œ)
  • 3. μžμ—°μˆ˜λŠ” λ‚˜λˆ—μ…ˆμ— λŒ€ν•΄ 폐쇄적이지 μ•ŠμŒ :
    • β†˜οΈŽ 예: $3 Γ· 2 = 1.5$(μžμ—°μˆ˜κ°€ μ•„λ‹˜)

4️⃣ μžμ—°μˆ˜μ˜ μš©λ„.

  • β†˜οΈŽ 사물을 μ„ΈκΈ° μœ„ν•œ 숫자 : 사과 3개, 의자 5개 λ“±
  • β†˜οΈŽ μˆœμ„œλ₯Ό λ‚˜νƒ€λ‚΄κΈ° μœ„ν•œ 숫자 : 1λ“±, 2λ“±, 3λ“± λ“±
  • β†˜οΈŽ 기본적인 μˆ˜ν•™ μ—°μ‚° : λ§μ…ˆ, λΊ„μ…ˆ, κ³±μ…ˆ

5️⃣ μ˜ˆμ‹œ.

  • μžμ—°μˆ˜ : $1, 2, 3, 4, 5, …$
  • μžμ—°μˆ˜κ°€ μ•„λ‹Œ 수 : 0(일뢀 ν•™νŒŒμ—μ„œλŠ” 포함), -1, 1.5, -3

πŸš€ μžμ—°μˆ˜ κ²°λ‘ .

  • β†˜οΈŽ 일반적인 μ •μ˜ : μžμ—°μˆ˜λŠ” 1λΆ€ν„° μ‹œμž‘ν•˜λŠ” μ–‘μ˜ μ •μˆ˜μž„.
  • β†˜οΈŽ 집합 기호 : $β„•$(μ—”)으둜 λ‚˜νƒ€λƒ„.
  • β†˜οΈŽ 0포함 μ—¬λΆ€ : λ¬Έλ§₯에 따라 닀름.

βœ…3️⃣ μ•½μˆ˜

πŸ“Œ Intro.

  • β†˜οΈŽ μ•½μˆ˜(Divisor)λž€, μ–΄λ–€ μžμ—°μˆ˜λ₯Ό λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§€κ²Œ λ§Œλ“œλŠ” μžμ—°μˆ˜λ₯Ό μ˜λ―Έν•¨.
    • β†˜οΈŽ 즉, λ‚˜λ¨Έμ§€ 없이 λ‚˜λˆŒ 수 μžˆλŠ” 수.

1️⃣ μ•½μˆ˜μ˜ μ •μ˜.

  • β†˜οΈŽ μžμ—°μˆ˜ Aκ°€ μžμ—°μˆ˜ B둜 λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§ˆ λ•Œ, Bλ₯Ό A의 μ•½μˆ˜λΌκ³  함.
  • β†˜οΈŽ μˆ˜ν•™μ μœΌλ‘œ ν‘œν˜„ν•˜λ©΄:
    • β†˜οΈŽ $A Γ· B = C \quad (C, \quad0)$

2️⃣ μ•½μˆ˜μ˜ μ˜ˆμ‹œ.

  • β†˜οΈŽ 1. 6의 μ•½μˆ˜
    • β†˜οΈŽ 6을 λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§€κ²Œ ν•˜λŠ” μžμ—°μˆ˜: 1, 2, 3, 6
    • β†˜οΈŽ $1 Γ— 6 = 6$
    • β†˜οΈŽ $2 Γ— 3 = 6$
      • β†˜οΈŽ ➞ 6의 μ•½μˆ˜λŠ” ${1, 2, 3, 6}$ μž…λ‹ˆλ‹€.
  • β†˜οΈŽ 2. 12의 μ•½μˆ˜
    • β†˜οΈŽ 12λ₯Ό λ‚˜λˆ„μ–΄λ–¨μ–΄μ§€κ²Œ ν•˜λŠ” μžμ—°μˆ˜: 1, 2, 3, 4, 6, 12
      • β†˜οΈŽ ➞ 12의 μ•½μˆ˜λŠ” ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ μž…λ‹ˆλ‹€.

3️⃣ μ•½μˆ˜μ˜ νŠΉμ§•.

  • β†˜οΈŽ 1. λͺ¨λ“  μžμ—°μˆ˜λŠ” 1을 μ•½μˆ˜λ‘œ κ°€μ§‘λ‹ˆλ‹€.
  • β†˜οΈŽ 2. 자기 μžμ‹ μ€ 항상 μ•½μˆ˜μž…λ‹ˆλ‹€.
  • β†˜οΈŽ 3. μ†Œμˆ˜(Prime Number)λŠ” 1κ³Ό 자기 μžμ‹ λ§Œμ„ μ•½μˆ˜λ‘œ κ°€μ§‘λ‹ˆλ‹€.
  • β†˜οΈŽ 4. μ™„μ „μˆ˜(Perfect Number) : λͺ¨λ“  μ•½μˆ˜λ₯Ό λ”ν•œ 값이 자기 자긴과 같을 λ•Œ(예: 6, 28)

4️⃣ μ•½μˆ˜ κ΅¬ν•˜λŠ” 방법.

  • β†˜οΈŽ 1. λ‚˜λˆ—μ…ˆμ„ μ΄μš©ν•œ 방법.
    • β†˜οΈŽ 숫자λ₯Ό 1λΆ€ν„° 자기 μžμ‹ κΉŒμ§€ λ‚˜λˆ λ³΄κ³  λ‚˜λ¨Έμ§€κ°€ 0일 λ•Œ, ν•΄λ‹Ή μˆ«μžλŠ” μ•½μˆ˜μž„.
  • β†˜οΈŽ 2. 짝지어 μƒκ°ν•˜κΈ°.
    • β†˜οΈŽ μ•½μˆ˜λŠ” 보톡 짝을 μ΄λ£Ήλ‹ˆλ‹€.(예: 6 ➞ (1,6), (2,3))

5️⃣ κ³΅μ•½μˆ˜ (Common Divisor)

  • β†˜οΈŽ 두 개 μ΄μƒμ˜ μžμ—°μˆ˜μ— κ³΅ν†΅μœΌλ‘œ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” μ•½μˆ˜λ₯Ό κ³΅μ•½μˆ˜λΌκ³  함.
  • β†˜οΈŽ 예:
    • β†˜οΈŽ 8의 μ•½μˆ˜: ${1, 2, 4, 8}$
    • β†˜οΈŽ 12의 μ•½μˆ˜: ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$
    • β†˜οΈŽ κ³΅μ•½μˆ˜ : ${1, 2, 4}$

6️⃣ μ΅œλŒ€κ³΅μ•½μˆ˜ (Greatest Common Divisor, GCD)

  • β†˜οΈŽ 두 수의 κ³΅μ•½μˆ˜ 쀑 κ°€μž₯ 큰 값을 μ΅œλŒ€κ³΅μ•½μˆ˜(GCD)라고 함.
  • β†˜οΈŽ 예:
    • β†˜οΈŽ 8κ³Ό 12의 μ΅œλŒ€ κ³΅μ•½μˆ˜ : 4

7️⃣ μˆ˜ν•™μ  ν‘œν˜„

  • β†˜οΈŽ μ•½μˆ˜ : $B λŠ” A 의 μ•½μˆ˜ β†’ A \mod B = 0$
  • β†˜οΈŽ κ³΅μ•½μˆ˜ : $A 와 B λ₯Ό λ‚˜λˆŒ 수 μžˆλŠ” μžμ—°μˆ˜$
  • β†˜οΈŽ μ΅œλŒ€κ³΅μ•½μˆ˜ : μ΅œλŒ€ κ³΅ν†΅λœ μ•½μˆ˜

πŸš€ μ•½μˆ˜ 정리.

  • β†˜οΈŽ 1. μ•½μˆ˜ : μ–΄λ–€ 수λ₯Ό λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§€κ²Œ λ§Œλ“œλŠ” 수.
  • β†˜οΈŽ 2. λͺ¨λ“  수의 μ•½μˆ˜ : 1κ³Ό 자기 μžμ‹ μ€ 항상 포함.
  • β†˜οΈŽ 3. κ³΅μ•½μˆ˜ : 두 μˆ˜κ°€ κ³΅ν†΅μœΌλ‘œ κ°€μ§€λŠ” μ•½μˆ˜
  • β†˜οΈŽ 4. μ΅œλŒ€κ³΅μ•½μˆ˜ : 곡약ꡬ 쀑 κ°€μž₯ 큰 κ°’.