💡[Math] 제곱근, 허수

✅1️⃣ 제곱근.

📌 Intro.

• ↘︎ 제곱근(Square Root)이란 어떤 수를 자기 자신과 곱해서 원래의 수가 되는 수.
  • ↘︎ 즉, 수 $a$가 있을 때, $x × x = a$를 만족하는 $a$의 제곱근이라고 함.

✅1️⃣ 제곱근의 정의.

• ↘︎ 수 $a$의 제곱근은 $a$를 두 번 곱해서 얻을 수 있는 값을 의미함.
  • ↘︎ 수학적으로 표현하면:
    • ↘︎ $x = \sqrt{a} \quad (x \times x = a)$

      ✅📚 예시.

• 1️⃣ $\sqrt{9} = 3 →$ 왜냐하면 $3 × 3 = 9$
• 2️⃣ $\sqrt{16} = 4 →$ 왜냐하면 $4 × 4 = 16$
• 3️⃣ $\sqrt{25} = 5 →$ 왜냐하면 $5 × 5 = 25$

✅2️⃣ 양수와 음수의 제곱근.

1️⃣ 양수의 제곱근.

• ↘︎ 모든 양수는 두 개의 제곱근을 가진다.
  • ↘︎ 예: $\sqrt{25} = 5$ 또는 $-5$

    2️⃣ 0의 제곱근.

• ↘︎ $\sqrt{0} = 0$

  3️⃣ 음수의 제곱근.

• ↘︎ 실수 범위에서는 존재하지 않음.
  • ↘︎ 그러나 복소수에서는 허수($i$)로 표현됨.
    • ↘︎ 예: $\sqrt{-1} = i$

✅3️⃣ 제곱근의 성질.

1️⃣ 곱셈의 성질.

• ↘︎ $\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$

  2️⃣ 나눗셈의 성질.

• ↘︎ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  3️⃣ 제곱과 제곱근의 관계.

• ↘︎ $(\sqrt{a})^2 = a$

  4️⃣ 음수의 제곱근은 실수 범위에 존재하지 않음.

• ↘︎ $\sqrt{-1} = i$

✅4️⃣ 제곱근과 제곱의 관계.

• ↘︎ 제곱은 제곱근의 역역산이다.

  1️⃣ 제곱(2승)

• ↘︎ $3^2 = 9$

  2️⃣ 제곱근

• ↘︎ $\sqrt{9} = 3$

✅5️⃣ 제곱근의 활용

1️⃣ 기하학.

• ↘︎ 직각삼각형의 빗변 길이 계산(피타고라스 정리).

  2️⃣ 물리학.

• ↘︎ 거리, 에너지 공식 등 계산.

  3️⃣ 통계학.

• ↘︎ 표준편차 및 분산 계산.

  4️⃣ 공학.

• ↘︎ 신호 처리, 전기 회로 이론.

✅6️⃣ 제곱근과 무리수.

1️⃣ 무리수.

• ↘︎ 제곱근을 구했을 때 소수점이 끝없이 이어지는 경우.
  • ↘︎ 예: $\sqrt{2} ≈ 1.41421356…$

🚀 제곱근 결론.

• ↘︎ 제곱근이란? : 자기 자신을 두 번 곱해 원래 수가 되는 값,
• ↘︎ 양수의 제곱근 : 두 개(양수와 음수)
• ↘︎ 음수의 제곱근 : 실수에서는 존재하지 않음
• ↘︎ 활용 : 수학, 과학, 통계 등 다양한 분야에서 사용

✅2️⃣ 허수(Imaginary Number)

📌 Intro.

• ↘︎ 허수(Imaginary Number)란 제곱했을 때 음수가 되는 수.
  • ↘︎ 일반적인 실수(Real Number) 체계에서는 제곱한 결과가 음수가 될 수 없기 때문에, 이를 설명하기 위해 허수 단위($i$)가 도입됨.

✅1️⃣ 허수의 정의.

• ↘︎ 허수 단위($i$):
  • ↘︎ $i = \sqrt{-1}$
• ↘︎ 수학적으로 표현:
  • ↘︎ $i^2 = -1$
• ↘︎ 일반적인 허수의 형태:
  • ↘︎ $bi \quad (b \text{는 실수, } i \text{는 허수 단위})$

✅2️⃣ 허수의 기본 성질.

• ↘︎ 1. $i^1 = i$
• ↘︎ 2. $i^2 = -1$
• ↘︎ 3. $i^3 = -i$
• ↘︎ 4. $i^4 = 1$
• 👉 이후 주기적으로 반복됨.

✅3️⃣ 허수의 예시.

• ↘︎ 1. $i = \sqrt{-1}$
• ↘︎ 2. $i^2 = -1$
• ↘︎ 3. $2i → 허수부가 2$
• ↘︎ 4. $-3i → 허수부가 -3$

✅4️⃣ 허수와 복소수의 관계.

• ↘︎ 복소수(Complex Number) : 실수부와 허수부로 구성된 수
• ↘︎ 일반적인 형태 : $z = a + bi$
  • ↘︎ a : 실수부 (Real Part)
  • ↘︎ b : 허수부 (Imaginary Part)
  • ↘︎ i : 허수 단위
• ↘︎ 특별한 경우:
  • ↘︎ 실수: $b = 0 ( z = a )$
  • ↘︎ 순허수: $a = 0 ( z = bi )$

✅5️⃣ 허수의 활용

• ↘︎ 1. 전기공학 : 교류 회로 분석 (전압, 전류 계산)
• ↘︎ 2. 양자역학 : 파동 함수 해석
• ↘︎ 3. 제어 시스템 : 안정성 분석
• ↘︎ 4. 컴퓨터 그래픽스 : 변환 및 회전 연산
• ↘︎ 5. 신호 처리 : 주파수 분석

✅6️⃣ 허수 vs 실수

🚀 허수 결론

• ↘︎ 허수란? 제곱했을 때 음수가 되는 수
• ↘︎ 기본 단위 : $i = \sqrt{-1}$
• ↘︎ 기호 : $i$
• ↘︎ 표현 : $bi (b는 실수)$
• ↘︎ 활용 : 전기공학, 양자역학, 컴퓨터 그래픽스 등