💡[Math] 집합과 원소

📌 Intro.

• ↘︎ 집합과 원소의 개념은 수학의 가장 기초적인 부분 중 하나로, 특히 수열, 확률, 논리 등 다양한 분야의 기초가 된다.

✅1️⃣ 집합(Set).

📌 정의.

• ↘︎ 집합은 서로 다른 원소들의 모임
  • ↘︎ 쉽게 말해, “특정 조건을 만족하는 대상들의 모임”
• ↘︎ 예시:
  • ↘︎ {1, 2, 3} → 숫자 1, 2, 3의 모임
  • ↘︎ {사과, 바나나, 오렌지} → 과일들의 모임

📌 집합의 특징.

• ↘︎ 1. 중복된 원소가 없다.
  • ↘︎ 동일한 원소는 한 번만 포함됨.
  • ↘︎ 예: {1, 1, 2}는 {1, 2}와 동일한 집합임.
• ↘︎ 2. 순서는 중요하지 않다.
  • ↘︎ 집합에서 원소의 순서는 상관 없다.
  • ↘︎ 예: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}
• ↘︎ 3. 원소 여부로 포함 관계를 판단.
  • ↘︎ 어떤 대상이 집합에 포함되는지 아닌지가 중요함.

✅2️⃣ 원소(Element).

📌 정의.

• ↘︎ 원소는 집합을 구성하는 각각의 대상임.

  📌 기호.

• ↘︎ $\in :$ “원소이다”
  • ↘︎ 예: $1 \in {1, 2, 3} ➞$ 1은 집합 {1, 2, 3}의 원소이다.
• ↘︎ $\notin :$ “원소가 아니다”
  • ↘︎ 예: $4 \notin {1, 2, 3} ➞$ 4는 집합 {1, 2, 3}의 원소가 아니다.

✅3️⃣ 집합 표현 방법.

📌 1) 원소 나열법.

• ↘︎ 원소를 중괄호 {} 안에 나열하여 표현.
  • ↘︎ 예: $A = {1, 2, 3, 4}$

📌 2) 조건 제시법

• ↘︎ 집합의 조건을 제시하여 표현함.
  • ↘︎ 예: $A = {x \mid x > 0 \text{이고 } x \leq 5}$
  • ↘︎ 읽기: $x$는 0보다 크고 5 이하인 원소들의 집합

✅4️⃣ 집합의 종류,

📌 1) 공집합(Empty Set)

• ↘︎ 원소가 없는 집합.
• ↘︎ 기호: $\emptyset 또는 { }$
  • ↘︎ 예: $B = {x \mid x > 5 \text{이고 } x < 3}$

📌 2) 유한 집합

• ↘︎ 원소의 개수가 유한한 집합.
  • ↘︎ 예: $C = {1, 2, 3, 4}$

📌 3) 무한 집합 (Infinite Set)

• ↘︎ 원소의 개수가 무한한 집합.
  • ↘︎ 예: $D = {x \mid x \text{는 자연수}}$

✅5️⃣ 집합의 관계.

📌 1) 부분집합 (Subset)

• ↘︎ 어떤 집합 A의 모든 원소가 B에도 포함되면 A는 B의 부분집합이다.
• ↘︎ 기호: $A \subseteq B$
• ↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} → A \subseteq B$

📌 2) 진부분집합 (Proper Subset)

• ↘︎ $A \subset B 이면서 A \neq B 인 경우, 즉 A 가 B 보다 작을 때.$
• ↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} → A \subset B$

✅6️⃣ 집합의 연산.

📌 1) 합집합 (Union)

• ↘︎ 두 집합의 모든 원소를 포함하는 집합.
• ↘︎ 기호: $A \cup B$
• ↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {2, 3} → A \cup B = {1, 2, 3}$

📌 2) 교집합 (Intersection)

• ↘︎ 두 집합에 공통으로 포함된 원소들의 집합.
• ↘︎ 기호: $A \cap B$
• ↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {2, 3} → A \cap B = {2}$

📌 3) 차집합 (Difference)

• ↘︎ 한 집합에서 다른 집합에 속하지 않는 원소들의 집합.
• ↘︎ 기호: $A - B 또는 A \setminus B$
• ↘︎ 정의: $A - B = {x \mid x \in A \text{이고 } x \notin B}$
• ↘︎ 예시: $A = {1, 2}, B = {2, 3}$
  • ↘︎ A의 원소: {1, 2}
  • ↘︎ B의 원소: {2, 3}
  • ↘︎ A - B: A에만 있는 원소를 찾는다.
    • ↘︎ 1은 A에는 있고, B에는 없다. ➞ 포함
    • ↘︎ 2는 A와 B 모두에 있다. ➞ 제외
    • ↘︎ 3은 A에는 없고 B에는 있다. ➞ 제외