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💡[Math] 수학 로드맵 - 5
💡[Math] 수학 로드맵 - 5
✅1️⃣ 초등 수학 과정 전체적으로 꿰뚫어보기.
↘︎ 수학은 끊임없이 실수하고 오류를 반복하면서 실력이 늘어난다.
↘︎ “수학은 위계가 뚜렷한 과목이다.”
↘︎ 갑자기 많이 틀리거나 어려워하는 데는 이유가 있다.
↘︎ “지금 공부하고 있는 단원이 특별히 어려워서가 아니라 이전 학년의 영역별로 연계된 단원에서 개념이 제대로 이해되지 않은 채 지나왔기 때문일 수 있다.”
↘︎ 수학을 잘하기를 원한다면 초등 수학 전 학년, 학기 단원을 꼼꼼히 살펴봐야 한다.
↘︎ 초등 수학의 전체 흐름을 알아두면 특정 개념에서 힘들어할 때 어떻게 해야할지, 학년에 따라 집중해야 할 영역이 어디인지 파악할 수 있다.
↘︎ 다음의 표는 초등 수학 전 학년, 학기 단원을 정리한 것이다.
↘︎ 초등 교과에 나오는 수학을 영역별로 구분해보면 1️⃣ 수와 연산 2️⃣ 도형 3️⃣ 측정 4️⃣ 확률과 통계 5️⃣ 규칙성 5가지 영역으로 나뉜다.
✅1️⃣ 수 영역
📌 수 영역 연계: 자연수.
↘︎ 초등 수학 교과 과정에서 ‘수와 연산’은 많은 부분을 차지한다.
↘︎ 그래서 수와 연산 영역을 잘하면 수학에 자신감이 생겨 수학 공부를 해나갈 때 동기부여가 된다.
↘︎ 반대로 수와 연산에서 막연한 어려움이 해소되지 않으면 수학이라는 과목에 굴복하게 된다.
↘︎ 수와 연산 영역은 내용이 많은 막큼 영역벽로 연계 단원을 살펴봐야 한다.
↘︎ 다음 그림에서 보는 것과 같이 수와 연산 영역의 경우 1학년 1학기 9까지의 수를 시작으로 4학년 1학기 큰 수를 배우는 것으로 마친다.
↘︎ 수 영역 중 ‘자연수’는 유아 시기부터 초등 4학년까지 10년 가까이 익히는 개념이다.
↘︎ 그만큼 개념이 완성되기까지 오랜 시간이 걸린다.
↘︎ 특히 1~2학년에 집중해서 배우므로 이 시기에는 다른 단원보다 자연수에 대해 더 집중적으로 학습해야 한다.
↘︎ 수 감각이 약하다면 교구를 함께 활용하고, 단원을 거슬러 올라가 복습도 해야 한다.
↘︎ 처음으로 수학에서 부딪히는 부분이 연산, 그중에서 ‘자연수의 덧셈과 뺄셈’을 할 때다.
↘︎ 수는 굉장히 추상적인 개면이다.
↘︎ 따라서 자션수가 정확히 이해되지 않는다면 자연수보다 더 추상적인 개념인 분수, 소수는 더 어렵다고 느끼게 된다.
↘︎ 자연수에 관한 마지막 단원은 4학년 때 배우는데, 1~2학년 때 자연수에 대한 이해가 부족했다면 4학년 ‘큰 수’ 단원을 할 때는 대혼란이 올 수 있으니 미리 준비해야 한다.
📌 수 영역 연계: 분수.
↘︎ 분수는 처음 3학년 1학기에 등장해 4학년 2학기 분수의 덧셈과 뺄셈, 소수의 덧셈과 뺄셈으로 이어진다.
↘︎ 분수는 3학년에 바로 익히기엔 어려울 수 있으니 여러 교구(동화, 만화, 보드게임 등)을 이용해 초등 1~2학년 때부터 조금씩 노출해주는 것이 좋다.
↘︎ 분수에서 중요한 개념은 ‘단위분수’와 ‘단위 환산’인데 추후에 상세히 설명하겠다.
📌 연산 영역 연계: 덧셈과 뺄셈.
↘︎ 연산 영역 중 덧셈과 뺄셈을 할 때는 반드시 기억해야 할 사항이 있다.
↘︎ 한 학기 동안 해당 학기에서 배우는 덧셈과 뺄셈의 연산력은 짧은 기간 동안 다지기는 힘들다는 것이다.
↘︎ 단 몇 개월 만드로 완전학습이 되기는 어렵다.
↘︎ 다시 말해 연산 학습은 미리 연습하고, 적당한 반복을 통해 완전학습이 되도록 계획성 있게 진행해야 한다.
📌 연산 영역 연계: 곱셈과 나눗셈.
↘︎ 연산 영역 중 곱셈은 구구단만 외우면 쉽세 할 수 있다고 생각하는 경우가 많다.
↘︎ 하지만 원리를 모른 채 무조건 외우는 것은 아무런 도움이 안 된다.
↘︎ 초등 2학년 때부터 배우는 곱셈의 원리는 중등의 곱셈 공식이나 인수분해까지 연결되는 개념으로 매우 중요하다.
↘︎ 따라서 초등 2학년 과정에서 곰셉의 원리는 묻는 문제를 틀렸을 때는 꼼꼼하게 살펴보면서 원리를 다시 한 번 정리해보아야 한다.
↘︎ 나눗셈의 원리 역시 잘 이해하고 있는지 체크해야 함은 물론이다.
✅2️⃣ 도형 영역.
↘︎ 도형 단원에 나오는 용어는 모두 중요하다.
↘︎ ‘선분’이라는 용어를 알게 되었을 때는 이 용어에 대해 반드시 설명할 수 있어야 한다.
↘︎ 도형 영역의 감각을 단순히 텍스트를 보고 문제를 풀어내는 것으로 해결하지 말아야한다.
↘︎ 직접 만져보고, 이후 교구 없이 머릿속으로 떠올리며 어디까지 문제를 해결할 수 있는지 확인해보는 것이 좋다.
↘︎ 도형 영역의 경우 사고력 수학 수업을 하면 많은 도움이 된다.
✅3️⃣ 측정 영역.
↘︎ 측정 영역의 경우 연산 단원처럼 개념만 익히고 넘어가는 경우가 많다.
↘︎ 그러면 초등 고학년이 되어 단위의 관계가 바로 떠오르지 않거나 단위를 알맞게 사용하지 못하는 경우가 생긴다.
↘︎ 초등 수학 과정에서 배우는 측정 단위들에 대한 개념은 중고등 과정에서는 따로 설명이 나오지 않는다.
↘︎ 단지 수학 문제에서 언급만 되기 때문에 초등 과정에서 단위 개념을 정확히 이해하고 기억해두어야 한다.
↘︎ 시간이 지나면 개념을 잊어버릴 수 있으니 일상행활에서 단위에 대한 노풀 빈도를 높여주면서 계속 떠올릴 수 있도록 해주면 좋다.
✅4️⃣ 규칙 영역.
↘︎ 규칙 영역은 사고력 수학의 학습 경험이 어느 정도냐애 따라 성취도가 다르게 나타난다.
↘︎ 유아 때부터 사고력 수학 학습을 꾸준히 해온 아이들은 규칙에 대한 문제를 많이 접해보았기 때문에 초등 수학 과정에서 나오는 규칙 문제는 상당히 쉽게 풀어낸다.
↘︎ 규칙 영역의 경우 수학적 사고에 대해 얼마나 유연하게 생각하는지 확인할 수 있는 부분이라 변별력을 가리는 문제로 많이 활용된다.
↘︎ 규칙 영역이 취약하다면 다양한 문제를 경험하게 해주는 것이 좋다.
✅5️⃣ 확률과 통계 영역.
↘︎ ‘확률과 통계’는 실생활과 밀접하게 연결해서 문제를 경험해볼 수 있는 영역이다.
↘︎ 예를 들어 윗옷 2가지, 아래옷 3가지가 있을 때 옷을 다양하게 입는 방법이 몇 가지인지 물어볼 수 있다.
↘︎ 그래프 역시 확률과 통계 영역에 포함된다.
↘︎ 단순히 수학 문제집을 푸는 데만 급급하기 보다 여러 가지 그래프를 살펴보면서 어떤 정보를 얻을 수 있는지 이야기해보면 이후 자료를 해석하는 데 많은 도움이 된다.
🙋♂️ TIP 1. 초등 수학에서 절대 놓쳐서는 안 되는 개념이 있다.
↘︎ 초등 수학 과정에서 절대로 놓쳐서는 안 되는 개념이 있다.
↘︎ 중고등 과정에서 문제 조건으로 나오거나 기본 개념에서 확장된 개념을 배우기 위해 확실히 알아야 하는 것들이다.
↘︎ 이런 개념들 중에는 중고등 과정에서는 나오지 않지만 무리하게 복습하지 않아도 되는 단윈도 있다.
↘︎ 예를 들면 소수의 곱셈이나 소수의 나눗셈 같은 단원이다.
↘︎ 초등 과정에서는 초등 6학년까지 소수 계산이 나오지만, 중등 과정이 되면 소수를 분수로 바꿔서 약분 처리하는 경우가 많다.
↘︎ 그리고 소수점이 들어간 네 자리 수 x 세 자리 수 등의 복합 연산은 나오지 않는다 오히려 간단하게 고치기 위해 지수나 로그를 적용해서 나타낸다.
↘︎ 따라서 소수 연산 단원에서 실수가 많이 난다고 지나치게 복습할 필요는 없다.
↘︎ 정확하게 연산 처리하는 습관이 중요할 뿐 해당 단원이 문제되지는 않는다는 사실을 기억해두자.
↘︎ 초등 수학에서 절대 놓쳐서는 안 되는 개념을 하나의 표로 정리해보았다.
↘︎ 이 개념들은 앞으로 수학 학습을 진행하는 데 가장 기본이 되는 개념들로 해당 학년을 마무리하거나 초등 과정을 마무리할 때 정확히 이해 했는지 반드시 체크해볼 필요가 있다.
<img src = “https://github.com/devKobe24/images2/blob/main/Math/Math_elementry_point.png?raw=true
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💡[Math] 집합과 원소
💡[Math] 집합과 원소
📌 Intro.
↘︎ 집합과 원소의 개념은 수학의 가장 기초적인 부분 중 하나로, 특히 수열, 확률, 논리 등 다양한 분야의 기초가 된다.
✅1️⃣ 집합(Set).
📌 정의.
↘︎ 집합은 서로 다른 원소들의 모임
↘︎ 쉽게 말해, “특정 조건을 만족하는 대상들의 모임”
↘︎ 예시:
↘︎ {1, 2, 3} → 숫자 1, 2, 3의 모임
↘︎ {사과, 바나나, 오렌지} → 과일들의 모임
📌 집합의 특징.
↘︎ 1. 중복된 원소가 없다.
↘︎ 동일한 원소는 한 번만 포함됨.
↘︎ 예: {1, 1, 2}는 {1, 2}와 동일한 집합임.
↘︎ 2. 순서는 중요하지 않다.
↘︎ 집합에서 원소의 순서는 상관 없다.
↘︎ 예: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}
↘︎ 3. 원소 여부로 포함 관계를 판단.
↘︎ 어떤 대상이 집합에 포함되는지 아닌지가 중요함.
✅2️⃣ 원소(Element).
📌 정의.
↘︎ 원소는 집합을 구성하는 각각의 대상임.
📌 기호.
↘︎ $\in :$ “원소이다”
↘︎ 예: $1 \in {1, 2, 3} ➞$ 1은 집합 {1, 2, 3}의 원소이다.
↘︎ $\notin :$ “원소가 아니다”
↘︎ 예: $4 \notin {1, 2, 3} ➞$ 4는 집합 {1, 2, 3}의 원소가 아니다.
✅3️⃣ 집합 표현 방법.
📌 1) 원소 나열법.
↘︎ 원소를 중괄호 {} 안에 나열하여 표현.
↘︎ 예: $A = {1, 2, 3, 4}$
📌 2) 조건 제시법
↘︎ 집합의 조건을 제시하여 표현함.
↘︎ 예: $A = {x \mid x > 0 \text{이고 } x \leq 5}$
↘︎ 읽기: $x$는 0보다 크고 5 이하인 원소들의 집합
✅4️⃣ 집합의 종류,
📌 1) 공집합(Empty Set)
↘︎ 원소가 없는 집합.
↘︎ 기호: $\emptyset 또는 { }$
↘︎ 예: $B = {x \mid x > 5 \text{이고 } x < 3}$
📌 2) 유한 집합
↘︎ 원소의 개수가 유한한 집합.
↘︎ 예: $C = {1, 2, 3, 4}$
📌 3) 무한 집합 (Infinite Set)
↘︎ 원소의 개수가 무한한 집합.
↘︎ 예: $D = {x \mid x \text{는 자연수}}$
✅5️⃣ 집합의 관계.
📌 1) 부분집합 (Subset)
↘︎ 어떤 집합 A의 모든 원소가 B에도 포함되면 A는 B의 부분집합이다.
↘︎ 기호: $A \subseteq B$
↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} → A \subseteq B$
📌 2) 진부분집합 (Proper Subset)
↘︎ $A \subset B 이면서 A \neq B 인 경우, 즉 A 가 B 보다 작을 때.$
↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} → A \subset B$
✅6️⃣ 집합의 연산.
📌 1) 합집합 (Union)
↘︎ 두 집합의 모든 원소를 포함하는 집합.
↘︎ 기호: $A \cup B$
↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {2, 3} → A \cup B = {1, 2, 3}$
📌 2) 교집합 (Intersection)
↘︎ 두 집합에 공통으로 포함된 원소들의 집합.
↘︎ 기호: $A \cap B$
↘︎ 예: $A = {1, 2}, B = {2, 3} → A \cap B = {2}$
📌 3) 차집합 (Difference)
↘︎ 한 집합에서 다른 집합에 속하지 않는 원소들의 집합.
↘︎ 기호: $A - B 또는 A \setminus B$
↘︎ 정의: $A - B = {x \mid x \in A \text{이고 } x \notin B}$
↘︎ 예시: $A = {1, 2}, B = {2, 3}$
↘︎ A의 원소: {1, 2}
↘︎ B의 원소: {2, 3}
↘︎ A - B: A에만 있는 원소를 찾는다.
↘︎ 1은 A에는 있고, B에는 없다. ➞ 포함
↘︎ 2는 A와 B 모두에 있다. ➞ 제외
↘︎ 3은 A에는 없고 B에는 있다. ➞ 제외
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💡[Math] 수학 로드맵 - 3
💡[Math] 수학 로드맵 - 3
✅1️⃣ 수학 학습의 분류.
📌 Intro.
↘︎ 수학은 아이들이 배우는 많은 과목 중 하나일 뿐임.
↘︎ 그러나 학습 시장에서 바라보면 매우 다양한 것처럼 느껴져 혼란스럽다는 의견이 많음.
↘︎ 수학 하면 가장 먼저 떠올리는 것이 ‘덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈’ 정도의 사칙연산인데, 수학 관련 학습의 종류가 많다 보니 무엇부터 어떻게 해야 할지 우왕좌왕하게 됨.
↘︎ 수학 학습 계획을 세운다면 무엇보다 수학 학습을 어떻게 분류하는지 정확하게 이해하는 것이 좋다.
↘︎ 수학은 크게 연산, 사고력, 교과의 3가지 학습으로 분류할 수 있다.
✅1️⃣ 연산.
↘︎ 연산 학습은 자연수, 분수, 소수 등의 수 체계를 익히고 사칙연산의 원리를 배우는 학습을 의미함.
↘︎ 연산을 잘해야 수학을 잘하는 것은 아니다.
↘︎ 하지만 수학을 잘하기 위해서는 기본 전제가 되는 연산을 놓치면 안됨.
✅2️⃣ 사고력.
↘︎ 사고력 수학 학습은 부모님 세대에게는 낯선 영역이다.
↘︎ 초등 교과서에서 수학의 영역은 1️⃣ 수와 연산 2️⃣ 도형 3️⃣ 측정 4️⃣ 확률과 통계 5️⃣ 규칙성의 5가지 영역으로 나뉜다.
↘︎ 이에 반해 사고력 수학에서는 수, 연산, 기하, 측정, 퍼즐, 논리추론, 규칙, 문제해결력 등 더 다양한 영역으로 구성되어 있다.
↘︎ (사고력 수학 문제집에 따라 기하나 공간 영역을 평면도형, 입체도형 영역으로 부르기도 한다.)
↘︎ 이처럼 사고력 수학은 초, 중, 고 교과 과정에서 배우는 내용과 비슷한 부분을 담고 있으면서 훨씬 더 확장되고 깊이 있는 주제별 학습을 다룬다.
✅3️⃣ 교과.
↘︎ 교과 수학 학습은 초, 중, 고 교과 과정에서 배우는 학습을 의미함.
↘︎ 초등 수학에서는 초등 교과서의 학년별, 학기별 배우는 내용을 학습하는 것.
↘︎ 교육과정에 따라 단원 삭제나 이동 등의 모습이 보이는데, 이에 따라 개정판 문제집의 선택이나 선행 진행에 대해서 고민하는 모습을 보게 됨.
↘︎ 하지만 표면적으로 삭제되거나 이동되었다 하더라도 결과적으로는 언젠가 배우게 되며, 또는 일부 다른 단원에 속해 있는 경우도 있으니 개정되는 부분에 대해 민감하게 고려하지 않아도 됨.
↘︎ 초등 수학 학습을 연산, 사고력, 교과로 분류학 때 3가지를 모두 골고루 진행하는 데 시간 배분하는 것이 쉽지 않다.
↘︎ 따라서 학년별로 중요한 학습에 좀 더 힘을 주거나 힘을 빼는 등의 강양 조절이 필요하다.
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💡[Math] 수학 로드맵 - 2
💡[Math] 수학 로드맵 - 2
✅1️⃣ 중고등 가서 잘하기 위한 초등 수학 공부
📌 Intro.
↘︎ 이 문제는 중등 1학년 1학기 일차방정식 활용에서 나오는 유형으로 난이도가 있는 편에 속함.
↘︎ 이런 문제를 냈을 때 문제를 해결하는 모습을 보면 다양함.
↘︎ 1. 정확하게 식을 써서 해결.
↘︎ 2. 문제를 이해했지만 방정식은 세우지 않고 정답을 구함.
↘︎ 3. 식을 어떻게 세워야 할지조차 몰라서 체크 표시.
↘︎ 문제를 해결하는 모습을 보면 초등 수학 학습이 어떠했는지 짐작 가능.
✅1️⃣ 정확하게 식을 써서 해결.
↘︎ 수학을 가장 잘 배웠고, 잘하고 있으며, 앞으로도 잘할 것임.
↘︎ 문제를 읽으면서 문제 상황이 쉽게 이해되거나 이해되지 않아도 그림을 그려서 문제를 이해하려는 시도를 함.
↘︎ 일차방정식을 처음 배우는 중학생들도 식을 적어가며 풀기가 만만치 않은 문제인데, 이런 유형을 정확하게 식을 써서 해결한다면 일차방정식 활용에서 나오는 유형에 대한 이해가 잘되었다고 판단할 수 있음.
↘︎ 즉, 중둥 1학년 1학기 문제집을 1권 풀었는데 유형 정리가 잘되었다면 중등 과정을 진행할 때 많은 복습을 하지 않아도 심화 문제까지 연결해 학습 가능.
↘︎ 초등 수학 과정을 배울 때 식을 쓰는 데 익숙하고 잘함.
↘︎ 그렇다고 서술형 풀이 연습을 저학년 때부터 시작한 것은 아닐 것임.
↘︎ 초등 수학의 경우 3학년 심화부터 본격적으로 식을 쓰고 풀어야 하는 문제가 나옴
↘︎ 그때부터 연습한것임.
↘︎ 그리고 문제집뿐 아니라 경시 기출이나 사고력 수학 문제 등 깊이 있는 문제에 대한 경험도 많이 있는 편임.
✅2️⃣ 문제를 이해했지만 식은 세우지 않고 정답을 구하는 경우.
↘︎ 어려운 문제를 많이 접했지만 주먹구구식으로 학습한 경우.
↘︎ 가장 좋은 수학 공부법은 어려운 문제를 오래 붙잡고 다양한 방법으로 풀어보면서 공부하는 것!
↘︎ 하지만 초등 고학년에서 중등으로 넘어갈 때는 오래 붙잡고 있는 것이 무조건 좋다고 할 수는 없음.
↘︎ 문제를 풀 때 더 효율적인 풀이 방법을 고민해보고, 모르면 더 배우고 익혀야 함.
↘︎ 자신의 생각이 이끄는 대로 여기저기 과정을 쓰긴 했지만, 정확히 ‘풀이’라고 할 수 없는 긁적임 정도만 남기는 습관을 갖게 되면 식을 세우는 데 상당한 어려움을 겪게 됨.
↘︎ 따라서 미리 식을 쓰면서 문제를 풀 수 있도록 지도해주는 것이 필요함.
↘︎ 이런 경우 희망적이게도 식을 세우는 습관을 들이기까지가 힘들 뿐, 문제를 이해하지 못한 게 아니기 때문에 쉽게 극복할 수 있는 부분임.
✅3️⃣ 문제를 이해했지만 어떻게 식을 세워야 할지 모르는 경우.
↘︎ 문제를 이해했지만 식을 세우는 법을 모르는 경우는 대부분 개념이 정립되지 않은 경우가 많다.
↘︎ 많은 양의 문제를 풀고 유형에 익숙해져서 실력을 만든 경우라 할 수 있다.
↘︎ 이런 경우 자기가 알고 있는 문제는 잘 풀지만, 처음 접하는 문제에 대해서는 알고 있는 개념을 적용시키는 능력이 약하다.
↘︎ 이련 유형의 경우 매 단원 새로운 개념이 나오면 확실히 정리하면서 공부하는 습관이 필요하다.
↘︎ “단원마다 중요 개념을 정리해보고 그 개념을 다른 사람에게 설명하게 하면 도움이 된다.”
↘︎ 쉬운 문제를 틀렸다고 하면 단순 실수라고 여기지 말고 단원의 개념을 꼭 한 번 정리해보길 권한다.
✅4️⃣ 문제가 전혀 이해되지 않는 경우.
↘︎ 문제를 전혀 이해하지 못하는 경우는 심화 학습 경험이 부족한 경우다.
↘︎ 중고등 과정으로 갈수록 심화 문제들은 초등 수학 과정의 기본과 심화의 난이도 차이보다 훨씬 크다.
↘︎ 증등 심화 문제는 매우 어렵다.
↘︎ 그만큼 초등 수학 과정에서 깊이 있게 학습하지 않으면 중고등 과정에서 힘들다는 소리가 저절로 나올 수밖에 없을 것이다.
✅2️⃣ 수학, 기초가 없으면 결국 무너진다.
↘︎ 중등 과정 내신에서 쉬운 문제로 자주 출제되는 유형임.
↘︎ 쉬운 문제라고 하지만 정답을 찾으려면 5개의 식을 모두, 정확하게, 해결해야 함.
↘︎ 한 군데서만 실수해도 쉬운 문제를 틀리게 됨.
↘︎ 연산은 수학 학습에서 기초 실력이라 할 수 있음.
↘︎ 기초라고는 하지만 단순하고 반복적인 연산 학습은 지루한 과정임.
↘︎ 냉정하게 인지하고 연습!
↘︎ 중고등 내신을 잘 받으려면 반복 학습은 분명 필요.
↘︎ 한번 배운 배용을 당시에 바로 이해하고, 빠르고 정확하게 해결하는 것은 쉬운 일이 아님.
↘︎ “게다가 수학을 잘하려면 더 어려운 문제에 계속 도전하고 더 깊이 있는 학습을 해야함.”
↘︎ 그러려면 기초 실력이라 할 수 있는 연산이 발목을 잡아서는 절대 불가능함.
↘︎ 연산 실력은 어느 날 갑자기 늘지 않음.
초등 수학을 공부할 때 안일하고 적당한 기준을 정해서는 안 되는 이유임.
↘︎ 중고등 가서도 잘할 수 있는 암산력과 속도, 정확성은 초등 수학을 학습할 때 반드시 갖출 수 있도록 해야함.
✅3️⃣ 멀리 보며 지속적으로 잘해나가는 실력.
↘︎ 초등 수학을 잘하기 위해 수학 공부를 하는 게 아님.
↘︎ “중요한 것은 멀리 내다보는 안목.”
↘︎ 중요한 것과 중요하지 않은 것을 따져서 멀리 내다보고 끝까지 잘할 수 있는 실력을 키우는 데 목표를 두어야 함.
↘︎ 틀려도 넘어갈 수 있는 부분이 있고, 맞아도 한 번 더 꼼꼼히 확인해야 하는 부분도 있음.
↘︎ “초등 수학 학습에서는 멀리 내다보고 지속적으로 잘해나갈 수 있는 실력을 키우는 데 주안점을 두어야 함.”
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💡[Math] 제곱근, 허수
💡[Math] 제곱근, 허수
✅1️⃣ 제곱근.
📌 Intro.
↘︎ 제곱근(Square Root)이란 어떤 수를 자기 자신과 곱해서 원래의 수가 되는 수.
↘︎ 즉, 수 $a$가 있을 때, $x × x = a$를 만족하는 $a$의 제곱근이라고 함.
✅1️⃣ 제곱근의 정의.
↘︎ 수 $a$의 제곱근은 $a$를 두 번 곱해서 얻을 수 있는 값을 의미함.
↘︎ 수학적으로 표현하면:
↘︎ $x = \sqrt{a} \quad (x \times x = a)$
✅📚 예시.
1️⃣ $\sqrt{9} = 3 →$ 왜냐하면 $3 × 3 = 9$
2️⃣ $\sqrt{16} = 4 →$ 왜냐하면 $4 × 4 = 16$
3️⃣ $\sqrt{25} = 5 →$ 왜냐하면 $5 × 5 = 25$
✅2️⃣ 양수와 음수의 제곱근.
1️⃣ 양수의 제곱근.
↘︎ 모든 양수는 두 개의 제곱근을 가진다.
↘︎ 예: $\sqrt{25} = 5$ 또는 $-5$
2️⃣ 0의 제곱근.
↘︎ $\sqrt{0} = 0$
3️⃣ 음수의 제곱근.
↘︎ 실수 범위에서는 존재하지 않음.
↘︎ 그러나 복소수에서는 허수($i$)로 표현됨.
↘︎ 예: $\sqrt{-1} = i$
✅3️⃣ 제곱근의 성질.
1️⃣ 곱셈의 성질.
↘︎ $\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$
2️⃣ 나눗셈의 성질.
↘︎ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
3️⃣ 제곱과 제곱근의 관계.
↘︎ $(\sqrt{a})^2 = a$
4️⃣ 음수의 제곱근은 실수 범위에 존재하지 않음.
↘︎ $\sqrt{-1} = i$
✅4️⃣ 제곱근과 제곱의 관계.
↘︎ 제곱은 제곱근의 역역산이다.
1️⃣ 제곱(2승)
↘︎ $3^2 = 9$
2️⃣ 제곱근
↘︎ $\sqrt{9} = 3$
✅5️⃣ 제곱근의 활용
1️⃣ 기하학.
↘︎ 직각삼각형의 빗변 길이 계산(피타고라스 정리).
2️⃣ 물리학.
↘︎ 거리, 에너지 공식 등 계산.
3️⃣ 통계학.
↘︎ 표준편차 및 분산 계산.
4️⃣ 공학.
↘︎ 신호 처리, 전기 회로 이론.
✅6️⃣ 제곱근과 무리수.
1️⃣ 무리수.
↘︎ 제곱근을 구했을 때 소수점이 끝없이 이어지는 경우.
↘︎ 예: $\sqrt{2} ≈ 1.41421356…$
🚀 제곱근 결론.
↘︎ 제곱근이란? : 자기 자신을 두 번 곱해 원래 수가 되는 값,
↘︎ 양수의 제곱근 : 두 개(양수와 음수)
↘︎ 음수의 제곱근 : 실수에서는 존재하지 않음
↘︎ 활용 : 수학, 과학, 통계 등 다양한 분야에서 사용
✅2️⃣ 허수(Imaginary Number)
📌 Intro.
↘︎ 허수(Imaginary Number)란 제곱했을 때 음수가 되는 수.
↘︎ 일반적인 실수(Real Number) 체계에서는 제곱한 결과가 음수가 될 수 없기 때문에, 이를 설명하기 위해 허수 단위($i$)가 도입됨.
✅1️⃣ 허수의 정의.
↘︎ 허수 단위($i$):
↘︎ $i = \sqrt{-1}$
↘︎ 수학적으로 표현:
↘︎ $i^2 = -1$
↘︎ 일반적인 허수의 형태:
↘︎ $bi \quad (b \text{는 실수, } i \text{는 허수 단위})$
✅2️⃣ 허수의 기본 성질.
↘︎ 1. $i^1 = i$
↘︎ 2. $i^2 = -1$
↘︎ 3. $i^3 = -i$
↘︎ 4. $i^4 = 1$
👉 이후 주기적으로 반복됨.
✅3️⃣ 허수의 예시.
↘︎ 1. $i = \sqrt{-1}$
↘︎ 2. $i^2 = -1$
↘︎ 3. $2i → 허수부가 2$
↘︎ 4. $-3i → 허수부가 -3$
✅4️⃣ 허수와 복소수의 관계.
↘︎ 복소수(Complex Number) : 실수부와 허수부로 구성된 수
↘︎ 일반적인 형태 : $z = a + bi$
↘︎ a : 실수부 (Real Part)
↘︎ b : 허수부 (Imaginary Part)
↘︎ i : 허수 단위
↘︎ 특별한 경우:
↘︎ 실수: $b = 0 ( z = a )$
↘︎ 순허수: $a = 0 ( z = bi )$
✅5️⃣ 허수의 활용
↘︎ 1. 전기공학 : 교류 회로 분석 (전압, 전류 계산)
↘︎ 2. 양자역학 : 파동 함수 해석
↘︎ 3. 제어 시스템 : 안정성 분석
↘︎ 4. 컴퓨터 그래픽스 : 변환 및 회전 연산
↘︎ 5. 신호 처리 : 주파수 분석
✅6️⃣ 허수 vs 실수
구분
실수(Real Number)
허수(Imaginary Number)
정의
실제로 존재하는 수
제곱하면 음수가 되는 수
예시
1,2,3,-1,…
i, 2i, -4i
좌표계
실수측(x축)
허수축(y축)
복소수와의 관계
실수부
허수부
🚀 허수 결론
↘︎ 허수란? 제곱했을 때 음수가 되는 수
↘︎ 기본 단위 : $i = \sqrt{-1}$
↘︎ 기호 : $i$
↘︎ 표현 : $bi (b는 실수)$
↘︎ 활용 : 전기공학, 양자역학, 컴퓨터 그래픽스 등
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💡[Math] 소수, 자연수, 약수
💡[Math] 소수, 자연수, 약수
✅1️⃣ 소수.
📌 Intro.
↘︎ 소수(Prime Number)란 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수를 의미함.
↘︎ 즉, 나누어 떨어지는 수가 1과 자기 자신뿐인 수.
1️⃣ 소수의 정의.
↘︎ 자연수 $n$이 있을 때, 약수가 1과 n 자신뿐인 경우, n은 소수임.
↘︎ 수학적으로 표현하면:
↘︎ $n > 1 \quad \text{AND} \quad n = p \quad (p1)$
2️⃣ 소수의 예시.
↘︎ 2 ➞ 약수 : {1, 2} ➞ ⭕️ 소수
↘︎ 3 ➞ 약수 : {1, 3} ➞ ⭕️ 소수
↘︎ 4 ➞ 약수 : {1, 2, 4} ➞ ❌ 소수가 아님 (2로 나누어떨어짐)
↘︎ 5 ➞ 약수 : {1, 5} ➞ ⭕️ 소수
↘︎ 7 ➞ 약수 : {1, 7} ➞ ⭕️ 소수
↘︎ 9 ➞ 약수 : {1, 3, 9} ➞ ❌ 소수가 아님 (3로 나누어떨어짐)
3️⃣ 소수의 특징.
↘︎ 1. 가장 작은 소수는 2임.
↘︎ 2. 2를 제외한 모든 소수는 홀수임.
↘︎ 3. 1은 소수가 아님.
↘︎ 4. 어떤 수를 소수로 나누어떨어지지 않는다면, 그 수는 소수가 아님.
↘︎ 5. 소수는 무한히 많음.(유클리드가 증명)
4️⃣ 소수 판별 방법.
↘︎ 1. 나눗셈 방법:
↘︎ 1과 자기 자신 이외에 나누어떨어지는 숫자가 있는지 확인한다.
↘︎ 2. 제곱근 활용:
↘︎ 어떤 수 $n$이 소수인지 확인하려면 1부터 $\sqrt{n}$까지의 소수로 나누어떨어지는지 확인합니다.
↘︎ 예: 29의 경우, $\sqrt{29} \approx 5.38$ ➞ 2, 3, 5로 나누어보면 됨.
5️⃣ 소수의 활용
↘︎ 암호화 기술(RSA 암호화)
↘︎ 난수 생성
↘︎ 컴퓨터 보안 시스템
↘︎ 수학 연구 및 이론 개발
🚀 소수 정리.
↘︎ 1. 소수 : 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
↘︎ 2. 가장 작은 소수 : 2
↘︎ 3. 소수의 예 : 2, 3, 5, 7, 11, …
↘︎ 4. 소수 판별 : 제곱근 이하의 소수로 나누어 확인
✅2️⃣ 자연수
📌 Intro.
↘︎ 자연수는 1, 2, 3, 4, 5, … 와 같이 1부터 시작하여 끝없이 이어지는 양의 정수를 의미함.
↘︎ 자연수는 우리가 일상생활에서 사물을 세는 데 사용하는 숫자임.
1️⃣ 자연수의 정의.
↘︎ 1. 양의 정수 (Positive Integers)
↘︎ $1, 2, 3, 4, 5, …$ 무한대로 계속 됨.
↘︎ 0 포함 여부
↘︎ 수학적 관점 : 일부 수학자들은 0을 자연수에 포함시기키도 함(예: 집합론)
↘︎ 일반적 관점 : 대부분의 경우 0은 포함하지 않음.
2️⃣ 수학적 표기.
↘︎ 자연수의 집합은 기호 $ℕ$(엔)으로 나타냄.
↘︎ 0을 포함하지 않는 경우:
↘︎ $= {1, 2, 3, 4, \dots}$
↘︎ 0을 포함하는 경우:
↘︎ $= {0, 1, 2, 3, \dots}$
3️⃣ 자연수의 특징.
1. 가장 작은 자연수 : 1(0을 포함하면 0)
2. 가장 큰 자연수 : 없음 (무한)
3. 자연수는 나눗셈에 대해 폐쇄적이지 않음 :
↘︎ 예: $3 ÷ 2 = 1.5$(자연수가 아님)
4️⃣ 자연수의 용도.
↘︎ 사물을 세기 위한 숫자 : 사과 3개, 의자 5개 등
↘︎ 순서를 나타내기 위한 숫자 : 1등, 2등, 3등 등
↘︎ 기본적인 수학 연산 : 덧셈, 뺄셈, 곱셈
5️⃣ 예시.
자연수 : $1, 2, 3, 4, 5, …$
자연수가 아닌 수 : 0(일부 학파에서는 포함), -1, 1.5, -3
🚀 자연수 결론.
↘︎ 일반적인 정의 : 자연수는 1부터 시작하는 양의 정수임.
↘︎ 집합 기호 : $ℕ$(엔)으로 나타냄.
↘︎ 0포함 여부 : 문맥에 따라 다름.
✅3️⃣ 약수
📌 Intro.
↘︎ 약수(Divisor)란, 어떤 자연수를 나누어 떨어지게 만드는 자연수를 의미함.
↘︎ 즉, 나머지 없이 나눌 수 있는 수.
1️⃣ 약수의 정의.
↘︎ 자연수 A가 자연수 B로 나누어떨어질 때, B를 A의 약수라고 함.
↘︎ 수학적으로 표현하면:
↘︎ $A ÷ B = C \quad (C, \quad0)$
2️⃣ 약수의 예시.
↘︎ 1. 6의 약수
↘︎ 6을 나누어 떨어지게 하는 자연수: 1, 2, 3, 6
↘︎ $1 × 6 = 6$
↘︎ $2 × 3 = 6$
↘︎ ➞ 6의 약수는 ${1, 2, 3, 6}$ 입니다.
↘︎ 2. 12의 약수
↘︎ 12를 나누어떨어지게 하는 자연수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
↘︎ ➞ 12의 약수는 ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ 입니다.
3️⃣ 약수의 특징.
↘︎ 1. 모든 자연수는 1을 약수로 가집니다.
↘︎ 2. 자기 자신은 항상 약수입니다.
↘︎ 3. 소수(Prime Number)는 1과 자기 자신만을 약수로 가집니다.
↘︎ 4. 완전수(Perfect Number) : 모든 약수를 더한 값이 자기 자긴과 같을 때(예: 6, 28)
4️⃣ 약수 구하는 방법.
↘︎ 1. 나눗셈을 이용한 방법.
↘︎ 숫자를 1부터 자기 자신까지 나눠보고 나머지가 0일 때, 해당 숫자는 약수임.
↘︎ 2. 짝지어 생각하기.
↘︎ 약수는 보통 짝을 이룹니다.(예: 6 ➞ (1,6), (2,3))
5️⃣ 공약수 (Common Divisor)
↘︎ 두 개 이상의 자연수에 공통으로 존재하는 약수를 공약수라고 함.
↘︎ 예:
↘︎ 8의 약수: ${1, 2, 4, 8}$
↘︎ 12의 약수: ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$
↘︎ 공약수 : ${1, 2, 4}$
6️⃣ 최대공약수 (Greatest Common Divisor, GCD)
↘︎ 두 수의 공약수 중 가장 큰 값을 최대공약수(GCD)라고 함.
↘︎ 예:
↘︎ 8과 12의 최대 공약수 : 4
7️⃣ 수학적 표현
↘︎ 약수 : $B 는 A 의 약수 → A \mod B = 0$
↘︎ 공약수 : $A 와 B 를 나눌 수 있는 자연수$
↘︎ 최대공약수 : 최대 공통된 약수
🚀 약수 정리.
↘︎ 1. 약수 : 어떤 수를 나누어 떨어지게 만드는 수.
↘︎ 2. 모든 수의 약수 : 1과 자기 자신은 항상 포함.
↘︎ 3. 공약수 : 두 수가 공통으로 가지는 약수
↘︎ 4. 최대공약수 : 공약구 중 가장 큰 값.
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